Question

【题目】如图，四边形是边长为2的正方形，平面平面，且.

（1）证明：平面平面；

（2）当，且与平面所成角的正切值为时，求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

(1)由已知条件和面面垂直性质定理可以证得平面，有，再运用面面垂直的判定定理证明平面平面

(2)以为坐标原点，的方向为轴正方向建立直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，运用公式求出二面角夹角的余弦值，继而求出正弦值

（1）由题设知，平面平面，交线为.

因为，平面，所以平面，

因此，又，，所以平面.

而平面，所以平面平面.

（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向建立如图所示的直角坐标系，

则有，

过点作于，设，则.

因为，所以，，

由题设可得，即，

解得或，

因为，所以，所以，.

由，知是平面的法向量，

，.

设平面的法向量为，

则取得，

设二面角为，

则，

因为，

.

综上，二面角的正弦值为.