Question

11．过抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0）作直线交C于A、B两点，M为x轴上一点，直线AM与C有且仅有一个公共点，直线BM与C交于另一点N，AM⊥AN．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求点A的坐标．

Answer 1

分析 （1）由抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），解方程即可求得p；
（2）设M（m，0），由题意可得m＜0，设直线AM：y=l（x-m），代入抛物线方程，运用判别式为0，可得A的坐标，M的坐标，（用l表示），设出B，N的坐标，由三点共线的性质：斜率相等和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，即可求得A的坐标．

解答 解：（1）抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点F（$\frac{p}{2}$，0），
由题意可得$\frac{p}{2}$=1，可得p=2，
即有抛物线方程为y²=4x；
（2）设M（m，0），由题意可得m＜0，
设直线AM：y=l（x-m），
代入抛物线方程可得l²x²-（2ml²+4）x+m²l²=0，
由直线和抛物线相切可得判别式为（2ml²+4）²-4m²l⁴=0，
可得1+ml²=0，
解得A（$\frac{1}{{l}^{2}}$，$\frac{2}{l}$），M（-$\frac{1}{{l}^{2}}$，0），
可设B（$\frac{{b}^{2}}{4}$，b），N（$\frac{{n}^{2}}{4}$，n），
由A，F，B共线，可得，$\frac{\frac{2}{l}}{\frac{1}{{l}^{2}}-1}$=$\frac{b}{\frac{{b}^{2}}{4}-1}$，解得b=-2l，
即有B（l²，-2l），
又M，B，N共线，可得$\frac{2l}{-\frac{1}{{l}^{2}}-{l}^{2}}$=$\frac{n}{\frac{{n}^{2}}{4}+\frac{1}{{l}^{2}}}$，解得n=-$\frac{2}{{l}^{3}}$，
则有N（$\frac{1}{{l}^{6}}$，-$\frac{2}{{l}^{3}}$）．
由AM⊥AN，可得$\frac{\frac{2}{l}}{\frac{1}{{l}^{2}}+\frac{2}{{l}^{2}}}$•$\frac{\frac{2}{l}+\frac{2}{{l}^{3}}}{\frac{1}{{l}^{2}}-\frac{1}{{l}^{6}}}$=-1，解得l=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得A（2，$±2\sqrt{2}$）．

点评 本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，求交点，同时考查三点共线的性质：斜率相等，以及两直线垂直的性质，考查运算能力，属于中档题．