题目内容
【题目】已知非零数列满足
,
.
(1)求证:数列是等比数列;
(2)若关于的不等式
有解,求整数
的最小值;
(3)在数列中,是否存在首项、第
项、第
项(
),使得这三项依次构成等差数列?若存在,求出所有的
;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2);(3)存在,
或
.
【解析】
(1)由条件可得,即
,再由等比数列的定义即可得证;
(2)由等比数列的通项公式求得,,再由数列的单调性的判断,可得最小值,解不等式即可得到所求最小值;
(3)假设存在首项、第项、第
项(
),使得这三项依次构成等差数列,由等差数列的中项的性质和恒等式的性质,可得
,
的方程,解方程可得所求值.
解:(1)证明:由,
得,即
,
所以数列是首项为2,公比为2的等比数列;
(2)由(1)可得,,则
故,
设,
则
,
所以单调递增,
则,于是
,即
,
故整数的最小值为
;
(3)由上面得,,
设,
要使得成等差数列,即
,
即,
得,
,
,
故为偶数,
为奇数,
或
.
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