题目内容
【题目】椭圆中心在原点,焦点在
轴上,
、
分别为上、下焦点,椭圆的离心率为
,
为椭圆上一点且
.
(1)若的面积为
,求椭圆
的标准方程;
(2)若的延长线与椭圆
另一交点为
,以
为直径的圆过点
,
为椭圆上动点,求
的范围.
【答案】(1)(2)
【解析】试题分析:(1)根据与椭圆的对称性可得
为椭圆的左、右顶点,再由题设条件列出方程组,即可求出椭圆
的方程;(2)由离心率得出
之间的关系,由
为直径的圆过点
,可得点
横坐标,再根据
三点共线,求出点
纵坐标,将点
坐标代入到椭圆方程化简可求出
的值,即可得到椭圆方程,设点
,根据向量坐标表示出
,根据
取值范围即可求出
的范围.
试题解析:(1)由椭圆的对称性可知, 为椭圆的左、右顶点,可设
,
∴解得
∴
.
(2)椭圆的离心率为,
,则
,
,
,
∵以为直径的圆过点
,∴
.
又∵的延长线与椭圆
另一交点为
,则
、
、
三点共线,
∴,∴
,
∴,
,
又∵在椭圆中,则代入椭圆方程有
,
,
,
设椭圆上动点,则
,
,
∴
,
,
∴.
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