题目内容
【题目】已知椭圆的离心率
,直线
与
相交于
,
两点,当
时,
(1)求椭圆的标准方程.
(2)在椭圆上是否存在点
,使得当
时,
的平分线总是平行于
轴?若存在,求出点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)(2)存在,
或
.
【解析】
(1)根据离心率得出,
,将直线
与椭圆方程联立,得出交点坐标,再由两点间距离公式,即可得出椭圆方程;
(2)假设存在点,设
,
,由
整理得出
,由题意得出
,结合韦达定理求解即可.
(1)设椭圆的半焦距为
因为离心率,所以
,
由解得
.
不妨设,
,则
.
所以,从而
,
.
所以椭圆的标准方程为
.
(2)假设存在点,设
,
.
由,消去
得
.
因为,所以
,
且,
.
由的平分线平行于
轴,得
所以,即
,
可得,
所以,
整理得.
当变化时,上式恒成立,
所以,解得
或
.
故满足条件的点的坐标为
或
.

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