题目内容
【题目】已知是自然对数的底数,函数
与
的定义域都是
.
(1)求函数在点
处的切线方程;
(2)判断函数零点个数;
(3)用表示
的最小值,设
,
,若函数
在
上为增函数,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)函数
只有一个零点;(3)
.
【解析】
(1)先求导数,代入
得
为直线的斜率,利用点斜式可求直线方程;
(2)先求导数,结合导数的符号,判定零点的个数;
(3)为增函数,转化为
恒成立,然后利用分离参数法求解.
(1)∵,∴切线的斜率
,
.
∴函数在点
处的切线方程为
.
(2)∵,
,∴
,
,
,
∴存在零点
,且
.∵
,
∴当时,
;当
时,由
得
.∴
在
上是减函数.
∴若,
,
,则
.∴函数
只有一个零点
,且
.
(3)解:,故
,
∵函数只有一个零点
,∴
,即
.∴
.
∴在
为增函数
在
,
恒成立.
当时
,即
在区间
上恒成立.
设,只需
,
,
在
单调递减,在
单调递增.
的最小值
,
.
当时,
,由上述得
,则
在
恒成立.
综上述,实数的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】目前,新冠病毒引发的肺炎疫情在全球肆虐,为了解新冠肺炎传播途径,采取有效防控措施,某医院组织专家统计了该地区500名患者新冠病毒潜伏期的相关信息,数据经过汇总整理得到如下图所示的频率分布直方图(用频率作为概率).潜伏期不高于平均数的患者,称为“短潜伏者”,潜伏期高于平均数的患者,称为“长潜伏者”.
(1)求这500名患者潜伏期的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),并计算出这500名患者中“长潜伏者”的人数;
(2)为研究潜伏期与患者年龄的关系,以潜伏期是否高于平均数为标准进行分层抽样,从上述500名患者中抽取300人,得到如下列联表,请将列联表补充完整,并根据列联表判断是否有97.5%的把握认为潜伏期长短与患者年龄有关;
短潜伏者 | 长潜伏者 | 合计 | |
60岁及以上 | 90 | ||
60岁以下 | 140 | ||
合计 | 300 |
(3)研究发现,某药物对新冠病毒有一定的抑制作用,需要在抽取的300人中分层选取7位60岁以下的患者做Ⅰ期临床试验,再从选取的7人中随机抽取两人做Ⅱ期临床试验,求两人中恰有1人为“长潜伏者”的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
【题目】随着社会发展对环保的要求,越来越多的燃油汽车被电动汽车取代,为了了解某品牌的电动汽车的节能情况,对某一辆电动汽车“行车数据”的两次记录如下表:
记录时间 | 累计里程 (单位:公里) | 平均耗电量(单位: | 剩余续航里程 (单位:公里) |
2020年1月1日 | 5000 | 0.125 | 380 |
2020年1月2日 | 5100 | 0.126 | 246 |
(注:累计里程指汽车从出厂开始累计行驶的路程,累计耗电量指汽车从出厂开始累计消耗的电量,)
下面对该车在两次记录时间段内行驶100公里的耗电量估计正确的是( )
A.等于B.
到
之间C.等于
D.大于