Question

12．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一条渐近线与圆x²+（y-$\sqrt{2}$）²=1至少有一个交点，则双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，$\sqrt{2}$]
• C． [$\sqrt{2}$，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 由已知得圆心（0，$\sqrt{2}$）到渐近线y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$b的距离：d=$\frac{2}{\sqrt{{b}^{2}+2}}$≤1，由此能求出双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：圆x²+（y-$\sqrt{2}$）²=1的圆心（0，$\sqrt{2}$），半径r=1．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{2}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的一条渐近线y=$\frac{1}{\sqrt{2}}$b与圆x²+（y-$\sqrt{2}$）²=1至少有一个交点，
∴$\frac{2}{\sqrt{{b}^{2}+2}}$≤1，化为b²≥2．
∴e²=1+（$\frac{b}{a}$）²≥2，
∴e≥$\sqrt{2}$，
∴该双曲线的离心率的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．