题目内容
【题目】设圆的圆心为
,直线
过点
且与
轴不重合,
交圆
于
两点,过
作
的平行线交
于点
.
(1)证明为定值,并写出点
的轨迹方程;
(2)设,过点
作直线
,交点
的轨迹于
两点 (异于
),直线
的斜率分别为
,证明:
为定值.
【答案】(1) (2)见解析.
【解析】试题分析:(1)根据且
可得
,从而
,由此得到
,所以
的轨迹是椭圆(除去与
轴的两个交点)且其方程为
.(2)设
,
,那么
,联立直线方程和椭圆方程,消去
利用韦达定理化简可得
,注意检验
的斜率不存在时
也成立.
解析:(1)如图,因为,
,故
,所以
,故
,又圆
的标准方程为
,从而
,所以
,有题设可知
,
由椭圆的定义可得点
的轨迹方程为
.
(2)设,
当的斜率存在时,设为
与椭圆
联立可得
,
且
.
因为两点异于
,所以
,所以
.
当的斜率不存在时,此时
此时容易解出
的坐标
,此
时.
综上可知.
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