Question

2．已知函数f（x）=a^x+x²-xlna，a＞1
（1）求证：f（x）在（0，+∞）上单调递增．
（2）若函数y=|f（x）-m|-3有四个零点，求m的取值范围．
（3）若对于任意的x∈[-1，1]都有f（x）≤e²-1恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，根据a的范围，确定f′（x）的符号，从而判断函数的单调性；
（2）问题转化为：f（x）=m+3和f（x）=m-3各有2个零点，得到不等式组，解出即可；
（3）根据函数f（x）的单调性构造新函数，求出f（x）的最大值，得到不等式解出即可．

解答 解：（1）f′（x）=a^xlna-2x-lna=lna（a^x-1）+2x，
$\begin{array}{l}∵x＞0，a＞1\\∴{a^x}-1＞0，lna＞0\\∴{f^'}（x）＞0\\ f（x）在（0，+∞）上是增函数．\end{array}$
（2）由（1）可知f（x）在（0，+∞）上是增函数，
f（x）在（-∞，0）上是减函数，
∴f（x）_min=f（0）=1，
$\begin{array}{l}y=|{f（x）-m}|-3有4个零点则分f（x）=m+3，f（x）=m-3\\ 各有两个零点，\\∴只需\left\{\begin{array}{l}m+3＞1\\ m-3＞1\end{array}\right.∴m＞4\end{array}$
（3）f（x）在（-1，0）↘（0，1）↗，
$\begin{array}{l}f（x）在[{-1，1}]上的最小值可能为f（-1），f（1）\\ f（-1）-f（1）=g（a）=\frac{1}{a}-a+2lna（a＞1）\\∵{g^'}（a）=-\frac{1}{a^2}-1+\frac{2}{a}=\frac{{-{a^2}+2a-1}}{a^2}=\frac{{-{{（a-1）}^2}}}{a^2}＜0\\∴g（a）在（1，+∞）上为减函数\\ g（a）＜g（1）=0\\∴f（-1）＜f（1）\\∴f{（x）_{max}}=f（1）=a+1-lna\\∴只需a+1-lna≤{e^2}-1，即a-lna≤{e^2}-2\\∴1＜a≤{e^2}\end{array}$

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数的零点问题，是一道综合题．