Question

12．设函数$f（x）=a-\sqrt{-{x^2}-4x}$和$g（x）=\frac{4}{3}x+1$，已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），则实数a的取值范围为（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

Answer 1

分析 已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），对其进行移项，利用常数分离法，可以得出a小于等于一个新函数，求出这个新函数的最小值即可．

解答 解：∵函数f（x）=a-$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$和$g（x）=\frac{4}{3}x+1$，
已知x∈[-4，0]时恒有f（x）≤g（x），
∴a-$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$≤$\frac{4}{3}$x+1，
∴a≤$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$+$\frac{4}{3}$x+1，
令h（x）=$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$+$\frac{4}{3}$x+1，求出h（x）的最小值即可，
∵$\sqrt{-{x}^{2}-4x}$≥0，（-4≤x≤0），y=$\frac{4}{3}$x+1在[-4，0]上为增函数，
∴当x=-4时，h（x）取得最小值，
h_min（x）=h（-4）=-$\frac{16}{3}$+1=-$\frac{13}{3}$，
∴a≤-$\frac{13}{3}$．
故答案为：（-∞，-$\frac{13}{3}$]．

点评 此题考查函数的恒成立问题，解决此题的关键是利用常数分离法，分离出a，转化为求函数的最值问题．