Question

14．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，且EC⊥平面ABC，EC=2．
（1）证明：DE∥平面ABC；
（2）证明：AD⊥BE．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点F，连接DF，CF，由已知可证DF$\stackrel{∥}{=}$EC，可得四边形DEFC为平行四边形，可得DE∥FC，由DE?平面ABC，从而可证DE∥平面ABC．
（2）以FA，FC，FD为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，求出向量$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BE}$的坐标，由$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=0，即可证明AD⊥BE．

解答 证明：（1）取AB的中点F，连接DF，CF，
∵△ABC是边长为4的等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，AD⊥BD，平面ABC⊥平面ABD，
∴DF⊥CF，
∵DF=$\frac{1}{2}$BC=2
又∵EC⊥平面ABC，既有：EC⊥FC，EC=2．
∴DF$\stackrel{∥}{=}$EC，故四边形DEFC为平行四边形，
∴DE∥FC
∴DE?平面ABC，可得DE∥平面ABC．
（2）以FA，FC，FD为x，y，z轴的正方向建立直角坐标系，
则有：A（2，0，0），D（0，0，2），B（-2，0，0），E（0，2$\sqrt{3}$，2）
$\overrightarrow{AD}$=（-2，0，2），$\overrightarrow{BE}$=（-2，2$\sqrt{3}$，2）
由于$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{BE}$=0，
故AD⊥BE．

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定，空间中直线与直线之间的位置关系，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．