Question

4．已知三棱锥P-ABC的底面是边长为3的正三角形ABC，PA与平面ABC所成角为60°，且PA=2，若点Q满足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），则三棱锥Q-ABC的体积为$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 如图所示，作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，则∠PAO是PA与平面ABC所成角，可得PO=APsin60°．V_P-ABC=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{△ABC}$．取BC的中点D，连接PD，AD，分别取PD的中点E，PG=$\frac{1}{4}PA$，由$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），可得$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PE}$．过G，E分别作GH∥PD，EF∥PA，分别交AD于H，F点，延长PQ交AD于点M．可得$\frac{MQ}{MP}=\frac{1}{4}$.$\frac{{V}_{Q-ABC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{MQ}{MP}$=$\frac{1}{4}$．即可得出．

解答 解：如图所示，
作PO⊥平面ABC，垂足为O，连接OA，
则∠PAO是PA与平面ABC所成角，
∵PA与平面ABC所成角为60°，
∴∠PAO=60°．
∴PO=APsin60°=$\sqrt{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}×PO×{S}_{△ABC}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×{3}^{2}$=$\frac{9}{4}$．
取BC的中点D，连接PD，AD，
分别取PD的中点E，PG=$\frac{1}{4}PA$，
∵满足$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$），
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{PG}+\overrightarrow{PE}$．
过G，E分别作GH∥PD，EF∥PA，分别交AD于H，F点，延长PQ交AD于点M．
则$\frac{MQ}{MP}=\frac{QH}{PD}$，$\frac{QH}{ED}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{MQ}{MP}=\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{V}_{Q-ABC}}{{V}_{P-ABC}}$=$\frac{MQ}{MP}$=$\frac{1}{4}$．
∴三棱锥Q-ABC的体积=$\frac{1}{4}×\frac{9}{4}$=$\frac{9}{16}$．
故答案为：$\frac{9}{16}$．

点评 本题查克拉线面垂直的判定定理、线面角、三棱锥的体积、向量的平行四边形法则、平行线分线段成比例定理，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．