题目内容
(本小题满分14分)已知如图(1),梯形
中,
,
,
,
、
分别是
、
上的动点,且
,设
(
)。沿
将梯形
翻折,使平面
平面
,如图(2)。
(Ⅰ)求证:平面
平面
;
(Ⅱ)若以
、
、
、
为顶点的三棱锥的体积记为
,求
的最大值;
(Ⅲ)当
取得最大值时,求二面角
的正弦值.
















(Ⅰ)求证:平面


(Ⅱ)若以






(Ⅲ)当



解:(Ⅰ)∵平面
平面
,
,∴
平面
,
∴
∵
, 又
∴
平面
。
又
平面
,
∴平面
平面
. ………………4分
(Ⅱ)
平面
,
平面
,
平面
.
……………………………………6分
即
时,
有最大值
. ……………………………………8分
(Ⅲ)(方法一)如图,以E为原点,
、
、
为轴建立空间直角坐标系,
则
,
,
,
,
∴
,
,
设平面
的法向量为
,
则
∴
设
,则
,
,∴
……………………………10分
平面
的一个法向量为
,
∴
, ……………………………12分
设二面角
为
,∴
∴二面角
的正弦值为
…………………………………14分
(方法二)作
于
,作
于
,连
。由(1)知平面
平面
,
平面
又
平面DGH

∴
是二面角
的平面角的补角.…………………………………10分
由
∽
,知
,
而
,
,
,
∴
又
,∴
……………12分
在
中,
。
∴二面角
的正弦值为
…………………………………14分





∴

∵


∴


又


∴平面


(Ⅱ)







即



(Ⅲ)(方法一)如图,以E为原点,









∴


设平面


则


设




平面


∴

设二面角



∴二面角


(方法二)作














∴






而



∴

又


在


∴二面角


略

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