题目内容
【题目】已知椭圆
的离心率为
，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为
，直线l的方程为：
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）已知直线l与椭圆相交于
、
两点
①若线段
中点的横坐标为
，求斜率
的值；
②已知点
，求证：
为定值
【答案】（Ⅰ）
；（Ⅱ）（1）
，（2）定值为
【解析】
试题(1)椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形,可以看作是以
长为底边，高为
的等腰三角形，故面积为
，从而可以列出等式
，又由离心率得
及
，可解出
，从而求出椭圆的方程 （2）直线和椭圆相交，其方程联立方程组，消去
，可得关于
的二次方程，利用韦达定理可得
，这就是相交弦的中点的横坐标，从而求出
，把
用坐标表示出来，借助（1）中的二次方程得出的
代入，就可证明出定值
试题解析：（Ⅰ）因为
满足，， 2分
，解得
，
，
则椭圆方程为.
（Ⅱ）（1）设
，将
代入并化简得
，
则
是上述方程的解
，
因为
的中点的横坐标为
，所以
，解得
.
（2）由（1），
，
，为定值
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【题目】某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄（在10岁到69岁之间）进行了调查，统计情况如下表所示.
年龄 |
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|
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|
人数 | 100 | 150 |
| 200 |
| 50 |
已知
，
，
三个年龄段的上网购物的人数依次构成递减的等比数列.
（1）求
的值；
（2）若将年龄在
内的上网购物者定义为“消费主力军”，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军”.现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率.
