Question

6．已知数列{a_n}的通项公式a_n=2n-5，b_n=|a_n|，求{b_n}的前n项和T_{n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+4n，n=1，2}\\{{n}^{2}-4n+8，n≥3}\end{array}\right.$．（n∈N^*）}．

Answer 1

分析 设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=n²-4n．由a_n=2n-5≤0，解得$n≤\frac{5}{2}$，可得当n=1，2时，a_n＜0，T_n=-S_n．当n≥3时，a_n＞0，T_n=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n=S_n-2S₂，即可得出．

解答 解：设数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_n=$\frac{n（-3+2n-5）}{2}$=n²-4n．
由a_n=2n-5≤0，解得$n≤\frac{5}{2}$，
因此当n=1，2时，a_n＜0，T_n=-S_n=-n²+4n．
当n≥3时，a_n＞0，T_n=-a₁-a₂+a₃+a₄+…+a_n=S_n-2S₂
=n²-4n-2（2²-8）=n²-4n+8．
综上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+4n，n=1，2}\\{{n}^{2}-4n+8，n≥3}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．
故答案为：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-{n}^{2}+4n，n=1，2}\\{{n}^{2}-4n+8，n≥3}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

点评 本题考查了含绝对值的数列求和问题、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．