题目内容
【题目】在平面直角坐标系xOy中,直角三角形ABC的三个顶点都在椭圆上,其中A(0,1)为直角顶点.若该三角形的面积的最大值为
,则实数a的值为_____.
【答案】3
【解析】
设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0),联立方程得到B(
,
),故S
,令t
,得S
,利用均值不等式得到答案.
设直线AB的方程为y=kx+1,则直线AC的方程可设为yx+1,(k≠0)
由消去y,得(1+a2k2)x2+2a2kx=0,所以x=0或x
∵A的坐标(0,1),∴B的坐标为(,k
1),即B(
,
),
因此AB,
同理可得:AC.
∴Rt△ABC的面积为SABAC
令t,得S
.
∵t2,∴S△ABC
.
当且仅当,即t
时,△ABC的面积S有最大值为
.
解之得a=3或a.
∵a时,t
2不符合题意,∴a=3.
故答案为:3.
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