Question

【题目】已知椭圆，点，，分别为椭圆的左焦点、右顶点和下顶点，的面积为，且椭圆的离心率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为椭圆上一点，直线与椭圆交于不同的两点，，且（点为坐标原点），求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆的几何性质可知，又椭圆的离心率为，由此即可求出椭圆方程；

（2）将直线方程与椭圆方程联立，化简可得，由此得到韦达定理，再根据，可由坐标运算求出点坐标，再将点坐标带入椭圆方程，建立关于的方程，解方程，即可求出结果.

（1）设，由题意可知，……①

由椭圆的离心率为，即……②

联立 ，解得 ；

所以椭圆的标准方程；

（2）由题意，将直线方程与椭圆方程联立

可得，

又直线与椭圆交于不同的两点，，则

即或；

设，，

则，

所以，

设，

又，所以，

所以，

又点为椭圆上一点，所以，即

所以，

所以，即，

可得，

可得，且满足或；

故.