题目内容
【题目】已知椭圆是长轴的一个端点,弦
过椭圆的中心O,点C在第一象限,且
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设P、Q为椭圆上不重合的两点且异于A、B,若的平分线总是垂直于x轴,问是否存在实数
,使得
?若不存在,请说明理由;若存在,求
的最大值.
【答案】(1)(2)存在,
的最大值为
【解析】
(1)将化简可得出
是等腰直角三角形,然后可得出
点坐标,带入椭圆方程即可求出
(2)首先由的平分线总是垂直于x轴可得出
,然后设出
的直线方程,联立消元可求出
和
,然后可算出
,进而可表示出
并求出
的最大值,也就可以得出
的最大值.
(1)∵,∴
,
∵,即
,
∴是等腰直角三角形,
∵,
,
而点C在椭圆上,∴,∴
,
∴所求椭圆方程为.
(2)对于椭圆上两点P,Q,
∵的平分线总是垂直于x轴,
∴与
所在直线关于
对称,
,则
,
∵,∴
的直线方程为
,①
的直线方程为
,②
将①代入,得
,③
∵在椭圆上,∴
是方程③的一个根,
∴,
以替换k,得到
.
∴,
∵,弦
过椭圆的中心O,
∴,∴
,
∴,∴
,
∴存实数,使得
,
,
当时,即
时取等号,
,
又,
,
∴的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】《最强大脑》是江苏卫视引进德国节目《Super Brain》而推出的大型科学竞技真人秀节目,节目筹备组透露挑选选手的方式:不但要对空间感知、照相式记忆进行考核,而且要让选手经过名校最权威的脑力测试,分以上才有机会入围,某重点高校准备调查脑力测试成绩是否与性别有关,在该高校随机抽取男、女学生各
名,然后对这
名学生进行脑力测试,规定:分数不小于
分为“入围学生”,分数小于
分为“未入围学生”,已知男生入围
人,女生未入围
人,
(1)根据题意,填写下面的列联表,并根据列联表判断是否有
以上的把握认为脑力测试后是否为“入围学生”与性别有关.
性别 | 入围人数 | 未入围人数 | 总计 |
男生 | 24 | ||
女生 | 80 | ||
总计 |
(2)用分层抽样的方法从“入围学生”中随机抽取名学生.
(ⅰ)求这名学生中女生的人数;
(ⅱ)若抽取的女生的脑力测试分数各不相同(每个人的分数都是整数),求这名学生中女生测试分数的平均分的最小值.
附:,其中
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |