题目内容
【题目】已知椭圆的短轴长为
,且椭圆的一个焦点在圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知椭圆的焦距小于,过椭圆的左焦点
的直线
与椭圆相交于
两点,若
,求
【答案】(1)或
.(2)
【解析】
(1)由题意可知:b=1,由焦点在圆上,可求得c,进而求得a,即可求得椭圆方程;
(2设出直线l的方程,代入椭圆,得到A、B的纵坐标的关系,利用向量转化的纵坐标的关系,求得直线方程,利用弦长公式可得所求.
(1)因为椭圆的短轴长为,所以
,则
.
圆与
轴的交点为
,
,
故或
,
从而或
,
故椭圆的方程为或
.
(2)设,
,由
,得
.
因为椭圆的焦距小于,所以椭圆的方程为
,
当直线的斜率为0时,AF=
,BF=
,不满足题意,
所以将的方程设为
,代入椭圆方程,消去
,得
,
所以,
,
将代入,得
.
故
.
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