题目内容
【题目】如图，某污水处理厂要在个矩形ABCD的池底水平铺设污水净化管道（
，E是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好，设计要求管道的接口E是AB的中点，F、G分别落在AD、BC上，且
，
，设
.
（1）试将污水管道的长度l表示成
的函数，并写出定义域；
（2）当为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道的长度.
【答案】（1）
，定义域
.（2）
或
时，污水净化效果最好，此时管道的长度为
【解析】
（1）根据题意分别表示出
，
，
即可得解；
（2）结合（1）化简可得
，，利用换元法，令
，根据函数性质即可求解.
（1）由题意，
，则
，∵E是
的中点，
，
∴，，∴，则，定义域.
（2）由（1）可知，
，
化简可得，
令.
∵，∴
，
可得
，则
，
可得：
，且
，那么
.
当
时，
取得最大值为
，
此时
，即
或
，∴或，
故或时，污水净化效果最好，此时管道的长度为.
【题目】小明在石家庄市某物流派送公司找到了一份派送员的工作，该公司给出了两种日薪薪酬方案.甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元.
（1）请分别求出甲、乙两种薪酬方案中日薪
（单位：元）与送货单数
的函数关系式；
（2）根据该公司所有派送员100天的派送记录，发现派送员的日平均派送单数与天数满足以下表格：
日均派送单数 | 52 | 54 | 56 | 58 | 60 |
频数（天） | 20 | 30 | 20 | 20 | 10 |
回答下列问题：
①根据以上数据，设每名派送员的日薪为
（单位：元），试分别求出这100天中甲、乙两种方案的日薪
平均数及方差；
②结合①中的数据，根据统计学的思想，帮助小明分析，他选择哪种薪酬方案比较合适，并说明你的理由.
（参考数据： 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
， 
）
【答案】（1）
；（2）见解析
【解析】试题分析：（1）甲方案：底薪100元，每派送一单奖励1元；乙方案：底薪140元，每日前55单没有奖励，超过55单的部分每单奖励12元. 求出甲、乙两种薪酬方案中日薪
（单位：元）与送货单数
的函数关系式；
①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，由此可求出这100天中甲方案的日薪
平均数及方差：同理可求出这100天中乙两种方案的日薪
平均数及方差，
②不同的角度可以有不同的答案
试题解析：（（1）甲方案中派送员日薪
（单位：元）与送货单数
的函数关系式为： 
，
乙方案中派送员日薪
（单位：元）与送单数
的函数关系式为：
，
（2）①、由表格可知，甲方案中，日薪为152元的有20天，日薪为154元的有30天，日薪为156元的有20天，日薪为158元的有20天，日薪为160元的有10天，则
，
，
乙方案中，日薪为140元的有50天，日薪为152元的有20天，日薪为176元的有20天，日薪为200元的有10天，则
，
②、答案一：
由以上的计算可知，虽然
，但两者相差不大，且
远小于
，即甲方案日薪收入波动相对较小，所以小明应选择甲方案.
答案二：
由以上的计算结果可以看出， 
，即甲方案日薪平均数小于乙方案日薪平均数，所以小明应选择乙方案.
【题型】解答题
【结束】
20
【题目】已知椭圆
： 
的左、右焦点分别为
， 
，且离心率为
， 
为椭圆上任意一点，当
时， 
的面积为1.
（1）求椭圆
的方程；
（2）已知点
是椭圆
上异于椭圆顶点的一点，延长直线
， 
分别与椭圆交于点
， 
，设直线
的斜率为
，直线
的斜率为
，求证： 
为定值.
