题目内容
(本小题满分15分)已知函数.
(1)当时,求在最小值;
(2)若存在单调递减区间,求的取值范围;
(3)求证:().
(1)当时,求在最小值;
(2)若存在单调递减区间,求的取值范围;
(3)求证:().
(1);(2);(3)详见解析.
试题分析:(1)由求导判的函数在上单调递增,可求函数的最小值;(2)因存在单调递减区间,所以有正数解,再分类讨论对类一元二次函数存在正解进行讨论.(3)利用数学归纳法进行证明即可.
试题解析:(1),定义域为.
,
在上是增函数.
.
(2) 因为
因为若存在单调递减区间,所以有正数解.
即有的解
① 当时,明显成立 .
②当时,开口向下的抛物线,总有的解;
③当时,开口向上的抛物线,
即方程有正根.
因为,
所以方程有两正根.
当时,; ……… 4分
,解得.
综合①②③知:. ……… 9分
(3)(法一)根据(Ⅰ)的结论,当时,,即.
令,则有, .
,
. ……… 15分
(法二)当时,.
,,即时命题成立.
设当时,命题成立,即.
时,.
根据(Ⅰ)的结论,当时,,即.
令,则有,
则有,即时命题也成立.
因此,由数学归纳法可知不等式成立. ……… 15分
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