题目内容
【题目】已知椭圆的中心在原点,离心率等于
,它的一个短轴端点恰好是抛物线
的焦点.
(1)求椭圆的方程;
(2)已知、
是椭圆上的两点,
是椭圆上位于直线
两侧的动点.
①若直线的斜率为
,求四边形
面积的最大值;
②当运动时,满足
,试问直线
的斜率是否为定值,请说明理由.
【答案】(1);(2)直线
的斜率为定值
。
【解析】试题分析:
(1)由抛物线的焦点坐标可得,再结合离心率可求得
,从而可得椭圆的方程.(2)①设直线
方程为
,
,将直线方程与椭圆方程联立消元后可得
,然后由四边形的特点得
,根据函数的知识可得
的最大值.②由
可得直线
的斜率之和为0,设
的方程为
,与椭圆方程联立消元后可得
,同理
,然后根据斜率公式求得直线AB的斜率验证即可.
试题解析:
(1)由题意得抛物线的焦点为,
∴,
∵,
∴
∴,
∴椭圆的方程为
.
(2)①由题意设直线方程为
,
由消去y整理得
,
∵直线AB与椭圆交于两点,
∴,解得
.
设,
则,
又,
∴,
∴当时,
取得最大
,
即四边形面积的最大值为
.
②当时,直线
的斜率之和为0,
设直线的斜率为
,则直线
的斜率为
,
故直线的方程为
,
由消去y整理得
,
∴,
同理.
∴,
∴,
故直线的斜率为定值
.

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