Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，，，是上的一点.

（1）求证：平面平面；

（2）若是的中点，，且直线与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）证明AC⊥PC，AC⊥BC，得到AC⊥平面PBC，然后证明平面EAC⊥平面PBC．

（2）以C为原点，建立空间直角坐标系，求出面PAC的法向量．面EAC的法向量，然后求解二面角的余弦函数值．

（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，AC平面ABCD，

∴AC⊥PC，AB＝2，AD＝CD＝1，

∴，∴AC2+BC2＝AB2，∴AC⊥BC，

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC，∵AC平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC．

（2）以C为原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则C（0，0，0），A（1，1，0），B（1，﹣1，0），

设P（0，0，a）（a＞0），则E（，，），

∴（1，1，0），（0，0，a）（a＞0），

（，，），（1，1，﹣a），

设（x，y，z）为平面PAC的法向量，

则，可取（1，﹣1，0）

同理平面EAC的法向量（a，﹣a，﹣2），

依题意，设直线PA与平面EAC所成角为θ，

则sinθ＝|cos，|，

解得a＝2，或a＝1（舍去，此时不满足），

∴（2，﹣2，﹣2），

∴|cos，|

∴平面PAC与平面ACE夹角的余弦值为