Question

16．已知数列{a_n}满足a_na_n+1=3ⁿ，n=1，2，3，…，且a₁=1．
（1）求证：当n≥2时，总有$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3；
（2）数列{b_n}满足b_n=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}{a}_{n}，n为奇数}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，n为偶数}\end{array}\right.$，求{b_n}的前2n项的和S_2n．

Answer 1

分析 （1）当n≥2时，a_na_n+1=3ⁿ，${a}_{n-1}{a}_{n}={3}^{n-1}$，两式相除即可证明；
（2）由a_na_n+1=3ⁿ，且a₁=1．可得a₂=3．由（1）可得：数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1，3；公比都为3．分别利用等比数列的通项公式可得：a_2n-1=3^n-1，a_2n=3ⁿ．可得a₁a₃…a_2n-1=${3}^{\frac{n（n-1）}{2}}$.$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：当n≥2时，a_na_n+1=3ⁿ，${a}_{n-1}{a}_{n}={3}^{n-1}$，∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n-1}}$=3；
（2）解：∵a_na_n+1=3ⁿ，且a₁=1．
∴a₂=3．
由（1）可得：数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，首项分别为1，3；公比都为3．
∴a_2n-1=3^n-1，a_2n=3ⁿ．
∵b_n=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}{a}_{n}，n为奇数}\\{\frac{1}{{a}_{n}}，n为偶数}\end{array}\right.$，
∴a₁a₃…a_2n-1=3^{0+1+…+（n-1）}=${3}^{\frac{n（n-1）}{2}}$．
$\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}$=$\frac{1}{3}+\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{3}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}{1-\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
∴{b_n}的前2n项的和S_2n=（log₃a₁+log₃a₃+…+log₃a_2n-1）+$（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}）$
=log₃（a₁a₃…a_2n-1）+$（\frac{1}{{a}_{2}}+\frac{1}{{a}_{4}}+…+\frac{1}{{a}_{2n}}）$
=$\frac{n（n-1）}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

点评 本题考查了分段数列的求和问题、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．