Question

16．已知A、B是抛物线x²=2y上相异的两个动点，且满足$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1．
（1）求证：直线AB恒过一定点．并求出该点坐标；
（2）求直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，联立抛物线方程，利用$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，即可得出结论；
（2）利用积分表示面积，再采用换元法，利用导数，即可求直线AB与抛物线围成的封闭区域的面积的最小值．

解答 （1）证明：由已知可得直线AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立抛物线方程得：x²-2kx-2b=0，x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
因为$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-1，
所以x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+$\frac{（{x}_{1}{x}_{2}）^{2}}{4}$=-1，可得b=1，
所以直线AB的方程为y=kx+1，恒过定点（0，1）；
（2）解：|x₁-x₂|=$\sqrt{4{k}^{2}+8}$，
y=kx+1与抛物线围成的封闭区域的面积S=${∫}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$（kx+1-$\frac{1}{2}$x²）=（$\frac{1}{2}$kx²+x-$\frac{1}{6}$x³）${|}_{{x}_{1}}^{{x}_{2}}$
=$\frac{1}{2}$k（x₁²-x₂²）+（x₁-x₂）-$\frac{1}{6}$（x₁³-x₂³）
=$\frac{1}{2}$k（x₁-x₂）（x₁+x₂）+（x₁-x₂）-$\frac{1}{6}$（x₁³-x₂³）
=k²•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$+$\sqrt{4{k}^{2}+8}$-$\frac{1}{6}$•$\sqrt{4{k}^{2}+8}$•（4k²+2），
设$\sqrt{4{k}^{2}+8}$=t（t≥2$\sqrt{2}$），
∴S=$\frac{1}{4}$（t²-8）t+t-$\frac{1}{6}$t（t²-6）=$\frac{1}{12}{t}^{3}$，
∴S′=$\frac{1}{4}{t}^{2}$≥0，
∴函数在[2$\sqrt{2}$，+∞）上单调递增，
∴t=2$\sqrt{2}$时，S_min=$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线过定点，考查导数知识的综合运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．