Question

15．求f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的值域．

Answer 1

分析 利用换元法令$\sqrt{{x}^{2}+4}$=t（t≥2），从而可得f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=t²-4+$\frac{5}{t}$，再利用导数确定函数的单调性，从而求值域．

解答 解：令$\sqrt{{x}^{2}+4}$=t（t≥2），则x²=t²-4，
则f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$=t²-4+$\frac{5}{t}$，
令g（t）=t²-4+$\frac{5}{t}$，
g′（t）=2t-$\frac{5}{{t}^{2}}$=$\frac{2{t}^{3}-5}{{t}^{2}}$＞0，
故g（t）=t²-4+$\frac{5}{t}$在[2，+∞）上是增函数，
故g（t）≥g（2）=$\frac{5}{2}$；
故f（x）=x²+$\frac{5}{\sqrt{{x}^{2}+4}}$的值域为[$\frac{5}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了导数的综合应用及换元法求函数的值域的应用，属于中档题．