题目内容
16．已知函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）x-lnx，若实数x0满足f（x0）＞log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$，则x0的取值范围是（0，1）．分析 运用二倍角的正弦公式和对数的运算性质化简log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$，再由函数f（x）的单调性，即可得到所求范围．
解答 解：log${\;}_{\frac{1}{8}}$sin$\frac{π}{8}$+log${\;}_{\frac{1}{8}}$cos$\frac{π}{8}$=$lo{g}_{\frac{1}{8}}（sin\frac{π}{8}cos\frac{π}{8}）$
=$lo{g}_{\frac{1}{8}}（\frac{1}{2}sin\frac{π}{4}）$=$lo{g}_{\frac{1}{8}}\frac{1}{2\sqrt{2}}$=$\frac{1}{2}$，
由函数f（x）=（$\frac{1}{2}$）x-lnx在（0，+∞）递减，
且f（1）=$\frac{1}{2}$，
又f（x0）＞$\frac{1}{2}$=f（1），
即有0＜x0＜1．
故答案为：（0，1）．
点评 本题考查函数的单调性的运用：解不等式，同时考查二倍角的正弦公式的运用，属于中档题．
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