题目内容
6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤e}\\{a（x+e），x＞e}\end{array}\right.$是（0，+∞）上的减函数，且对任意的m∈（0，e]，n∈（e，+∞）有f（$\frac{m+n}{2}$）＜$\frac{f（m）+f（n）}{2}$，则实数a的取值范围是（-∞，-$\frac{1}{2e}$）．分析 结合已知中分段函数为减函数，则函数每一段均为减函数，再由对任意的m∈（0，e]，n∈（e，+∞）有f（$\frac{m+n}{2}$）＜$\frac{f（m）+f（n）}{2}$，可得当x=e时，左段函数值大于右段函数值，进而得到实数a的取值范围．
解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-lnx，0＜x≤e}\\{a（x+e），x＞e}\end{array}\right.$是（0，+∞）上的减函数，且对任意的m∈（0，e]，n∈（e，+∞）有f（$\frac{m+n}{2}$）＜$\frac{f（m）+f（n）}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ a（e+e）＜-lne\end{array}\right.$，
解得：a＜-$\frac{1}{2e}$，
故实数a的取值范围是：（-∞，-$\frac{1}{2e}$），
故答案为：（-∞，-$\frac{1}{2e}$）
点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，正确理解分段函数的单调性是解答的关键，难度中档．
练习册系列答案
相关题目