题目内容

8.利用|z2|=z•$\overline{z}$解下列各题:
(1)若|z|=1,求证:|$\frac{α-z}{1-\overline{α}z}$|=1(其中α∈C);
(2)若|z|=1,求|z2-z+1|的最值.

分析 (1)由|z2|=z•$\overline{z}$=|z|2=1,化简|$\frac{α-z}{1-\overline{α}z}$|即可;
(2)由|z|=1,可设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π),利用三角函数求出|z2-z+1|的最值.

解答 解:(1)∵|z2|=z•$\overline{z}$=|z|2=1,
∴|$\frac{α-z}{1-\overline{α}z}$|=$\frac{|α-z|}{|z•\overline{z}-\overline{α}•z|}$
=$\frac{|α-z|}{|z|•|\overline{α}-\overline{z}|}$
=$\frac{|α-z|}{|z|•|\overline{α-z}|}$
=$\frac{|α-z|}{1×|α-z|}$
=1;
(2)由|z|=1,可设z=cosθ+isinθ,θ∈[0,2π);
∴|z2-z+1|=|(cosθ+isinθ)2-(cosθ+isinθ)+1|
=|(cos2θ-cosθ+1)+(sin2θ-sinθ)i|
=$\sqrt{{(cos2θ-cosθ+1)}^{2}{+(sin2θ-sinθ)}^{2}}$
=$\sqrt{3-4cosθ+2cos2θ}$
=$\sqrt{{4cos}^{2}θ-4cosθ+1}$
=|2cosθ-1|.
∴当cosθ=$\frac{1}{2}$时,|z2-z+1|有最小值为0,
当cosθ=-1时,|z2-z+1|有最大值为3.

点评 本题考查了复数的代数运算问题,也考查了求复数模长的最值问题,是基础题目.

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