题目内容
【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【答案】
（1）
解法一：连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
=（﹣4，2，0）， 
=（2，4，0）， 
=（0，0，h）．
因为 
=﹣8+8+0=0， =0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（2）
法一：过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA= 
，sin∠BPF= 
，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．
所以四边形BCDG是平行四边形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG= 
=2 
，BF= 
= 
= 
．
于是PA=BF= ．
又梯形ABCD的面积为S= 
×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= 
×S×PA= ×16× = 
．
法二：由题设和第一问知， ， 
分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
所以：|cos＜ ， 
＞|=|cos＜ ， ＞|，即| 
|=| 
|．
由第一问知 =（﹣4，2，0）， =（（0，0，﹣h），又 =（4，0，﹣h）．
故| 
|=| 
|．
解得h= ．
又梯形ABCD的面积为S= ×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P﹣ABCD的体积为V= ×S×PA= ×16× = ．
【解析】法一：（1）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．
法二：（1）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到 =0以及 =0．即可证明结论；（2）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面垂直的判定的相关知识，掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想，以及对空间角的异面直线所成的角的理解，了解已知
为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为
，则
