Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．已知（1，e）和（e， ）都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；
（2）设A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P．
（i）若AF1﹣BF2= ，求直线AF1的斜率；
（ii）求证：PF1+PF2是定值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题设知a2=b2+c2，e= ，由点（1，e）在椭圆上，得 ，∴b=1，c2=a2﹣1．

由点（e， ）在椭圆上，得

∴ ，∴a2=2

∴椭圆的方程为 ．

（2）解：由（1）得F1（﹣1，0），F2（1，0），

又∵直线AF1与直线BF2平行，∴设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my．

设A（x1，y1），B（x2，y2），y1＞0，y2＞0，

∴由 ，可得（m2+2） ﹣2my1﹣1=0．

∴ ， （舍），

∴|AF1|= ×|0﹣y1|= ①

同理|BF2|= ②

（i）由①②得|AF1|﹣|BF2|= ，∴ ，解得m2=2．

∵注意到m＞0，∴m= ．

∴直线AF1的斜率为 ．

（ii）证明：∵直线AF1与直线BF2平行，∴ ，即 ．

由点B在椭圆上知， ，∴ ．

同理 ．

∴PF1+PF2= =

由①②得， ， ，

∴PF1+PF2= ．

∴PF1+PF2是定值．

【解析】（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和（e， ），都在椭圆上列式求解．（2）（i）设AF1与BF2的方程分别为x+1=my，x﹣1=my，与椭圆方程联立，求出|AF1|、|BF2|，根据已知条件AF1﹣BF2= ，用待定系数法求解；（ii）利用直线AF1与直线BF2平行，点B在椭圆上知，可得 ， ，由此可求得PF1+PF2是定值．
【考点精析】利用直线的斜率和椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tanα；椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：．