题目内容

某银行准备新设一种定期存款业务,经预测,存款量与利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),且知当利率为0.012时,存款量为1.44亿;又贷款的利率为4.8%时,银行吸收的存款能全部放贷出去;若设存款的利率为x,x∈(0,0.048),则当x为多少时,银行可获得最大收益?
分析:由题意知:存款量f(x)=kx2,当利率为0.012时,存款量为1.44亿,由1.44=k•(0.012)2,得k=10000,得f(x)=10000x2,银行应支付的利息g(x)=x•f(x)=10000x3,设银行可获收益为y,则y=480x2-10000x3,再由导数性质能求出当x为多少时,银行可获得最大收益.
解答:解:由题意知:存款量f(x)=kx2
当利率为0.012时,存款量为1.44亿,
即x=0.012时,y=1.44;
由1.44=k•(0.012)2,得k=10000,
∴f(x)=10000x2
银行应支付的利息g(x)=x•f(x)=10000x3
设银行可获收益为y=贷款收益-利息支出,
则y=480x2-10000x3
由于y'=960x-30000x2,则y'=0,
即960x-30000x2=0,得x=0或x=0.032.
因为x∈(0,0.032)时,y'>0,
此时,函数y=480x2-10000x3递增;
x∈(0.032,0.048)时,y'<0,
此时,函数y=480x2-10000x3递减;
故当x=0.032时,y有最大值,其值约为0.164亿.
点评:本题考查函数在生产实际中的应用,考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.综合性强,是高考的重点.解题时要认真审题,仔细解答,注意导数性质的灵活运用.
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