题目内容
19、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？
分析：根据银行收益=贷款收益-存款利息，故可设出存款利率，将银行收益表示为利率的函数y=0.048kx2-kx3，然后对函数进行求导判断函数的单调性，进而求出函数的最值即可．
解答：解：设存款利息为x，则应用x∈（0，0.048），
依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3．
由于y'=0.096kx-3kx2，令y'=0，得x=0.032或x=0（舍去），
又当0＜x＜0.032时，y'＞0；当0.032＜x＜0.096时，y'＜0，
所以当x=0.032时，y取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大利润．
依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收益是0.048kx2，所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3．
由于y'=0.096kx-3kx2，令y'=0，得x=0.032或x=0（舍去），
又当0＜x＜0.032时，y'＞0；当0.032＜x＜0.096时，y'＜0，
所以当x=0.032时，y取得最大值，即当存款利率定为3.2%时，银行可获得最大利润．
点评：本题主要考查利用导数求函数的最值的问题．属基础题．
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