Question

某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为6%，又银行吸收的存款能全部放贷出去．
（1）若存款的利率为x，x∈（0，0.06），试分别写出存款数量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）与存款利率x之间的关系式；（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

Answer 1

分析：（1）题目中条件：“存款量与存款利率成正比，比例系数为k，可得g（x）=kx，及银行应支付给储户的利息；
（2）最大收益问题可利用求函数的最大值问题解决，由于所得函数y=0.06•kx-kx²为二次函数，故应用导函数的性质可求三次函数的最大值．

解答：解：（1）由题意，存款量g（x）=kx，x∈（0，0.06），
银行应支付的利息h（x）=x•g（x）=kx²，x∈（0，0.06），
（2）设银行可获收益为y，则y=0.06•kx-kx²
y=kx•6%-kx²=k[-（x-0.03）²+0.0009]得 x=0.03
答：存款利率定为3%时，银行可获得最大收益．

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、导数求最值的方法等，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．