Question

32、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K（K＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去．
（1）若存款的利率为x，x∈（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）；
（2）存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？

Answer 1

分析：（1）题目中条件：“存款量与利率的平方成正比”设比例系数为K，可得g（x）=Kx²，及银行应支付给储户的利息；
（2）最大收益问题可利用求函数的最大值问题解决，由于所得函数y=0.048•Kx²-Kx³为三次函数，故应用导函数的性质可求三次函数的最大值．

解答：解：（1）由题意，存款量g（x）=Kx²，
银行应支付的利息h（x）=x•g（x）=Kx³
（2）设银行可获收益为y，则y=0.048•Kx²-Kx³
y′=K•0.096x-3Kx²令y′=0即K×0.096x-3Kx²=0
解得x=0或x=0.032
又当x∈（0，0.032）时，y′＞0，x∈（0.032，0.048）时，
y′＜0∴y在（0，0.032）内单调递增，在（0.032，0.048）单调递减
故当x=0.032时，y在（0，0.048）内取得极大值，亦即最大值．
答：存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．

点评：本题主要考查函数在实际生活中的应用、导数求最值的方法等，解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．