题目内容
20.已知A(1,2,3)、B(2,1,2)、C(1,1,2),O为坐标原点,点D在直线OC上运动,则当$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值时,点D的坐标为( )A. | ($\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$) | B. | ($\frac{8}{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{8}{3}$) | C. | ($\frac{4}{3}$,$\frac{4}{3}$,$\frac{8}{3}$) | D. | ($\frac{8}{3}$,$\frac{8}{3}$,$\frac{4}{3}$) |
分析 设$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OC}$=(t,t,2t),t≥0,则$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=6t2-16t+10,由此利用配方法能求出$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值时,点D的坐标.
解答 解:设$\overrightarrow{OD}$=t$\overrightarrow{OC}$=(t,t,2t),t≥0,
∵A(1,2,3)、B(2,1,2)、C(1,1,2),O为坐标原点,点D在直线OC上运动,
∴$\overrightarrow{DA}$=(1-t,2-t,3-2t),$\overrightarrow{DB}$=(2-t,1-t,2-2t),
∴$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$=(1-t)×(2-t)+(2-t)×(1-t)+(3-2t)(2-2t)
=6t2-16t+10
=6(t-$\frac{4}{3}$)2+$\frac{26}{9}$,
当t=$\frac{4}{3}$时,$\overrightarrow{DA}$•$\overrightarrow{DB}$取最小值,
此时D($\frac{4}{3},\frac{4}{3},\frac{8}{3}$).
故选:C.
点评 本题考查满足条件的点的坐标的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意空间向量数量积的合理运用.
练习册系列答案
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9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )
A. | $\frac{2π+1}{3}$ | B. | $\frac{2π+3}{3}$ | C. | $\frac{4π+1}{3}$ | D. | $\frac{4π+3}{3}$ |