Question

15．等差数列{a_n}中，a₂=4，a₄+a₇=15．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=2^a_n-2+n，求{b_n}的前n项和S_n．
（3）求数列{$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出；
（3）利用“裂项求和”即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，∵a₂=4，a₄+a₇=15．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=4}\\{2{a}_{1}+9d=15}\end{array}\right.$，解得a₁=3，d=1．
∴a_n=3+（n-1）=n+2．
（2）b_n=2^a_n-2+n=2ⁿ+n，
∴{b_n}的前n项和S_n=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$+$\frac{n（n+1）}{2}$=2ⁿ⁺¹-2+$\frac{n（n+1）}{2}$．
（3）$\frac{1}{{{a}_{n}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+2）^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）（n+3）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）$．
∴前n项和T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+$（\frac{1}{4}-\frac{1}{6}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）+（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+3}）$
=$\frac{5}{12}$-$\frac{2n+5}{2（n+2）（n+3）}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．