题目内容

13.设函数f(x)对任意x∈R,都有f(2x)=a•f(x),其中a为常数.当x∈[1,2)时,$f(x)=sin(\frac{π}{2}x)$.
(1)设a>0,f(x)在x∈[4,8)时的解析式及其值域;
(2)设-1≤a<0,求f(x)在x∈[1,+∞)时的值域.

分析 (1)根据x的范围,得到$\frac{x}{4}$的范围,由f(2x)=a•f(x),令x=$\frac{x}{4}$,得到f(x)=a2f($\frac{x}{4}$),再代入即可得到f(x)的解析式;
(2)由于[1,+∞)=[1,2)∪[2,22)∪[22,23)∪…∪[2n,2n+1)∪…只研究函数f(x)在[2n,2n+1)(n∈N)值域即可,先由(1)得到$f(x)={a^n}sin(\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}})$x∈[2n,2n+1)(n∈N),再分n为偶数和奇数两种情况讨论.

解答 解:(1)当x∈[4,8)时,于是$\frac{x}{4}∈[1,2)$,又f(2x)=af(x)
所以$f(x)=af(\frac{x}{2})={a^2}f(\frac{x}{4})$,
即f(x)=a2sin($\frac{π}{8}$x)…3分,
x∈[4,8)$⇒\frac{π}{2}≤\frac{π\;x}{8}<π$⇒0<f(x)≤a2
即f(x)在x∈[4,8)时的值域为(0,a2]…6分
(2)由于[1,+∞)=[1,2)∪[2,22)∪[22,23)∪…∪[2n,2n+1)∪…
只研究函数f(x)在[2n,2n+1)(n∈N)值域即可…7分
对于x∈[2n,2n+1)(n∈N)得$\frac{x}{2^n}∈[1,2)$
于是$f(x)=af(\frac{x}{2})={a^2}f(\frac{x}{2^2})=…={a^n}f(\frac{x}{2^n})$
所以$f(x)={a^n}sin(\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}})$x∈[2n,2n+1)(n∈N)…9分
$\frac{π}{2}≤\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}}<π$⇒$0<sin(\frac{π\;x}{{{2^{n+1}}}})≤1$
因为-1≤a<0
所以当n为偶数时,f(x)在[2n,2n+1)(n∈N)上单调减,值域为(0,an];
且(0,1]?(0,a2]?(0,a4]?…?(0,a2k]?…10分
当n为奇数时,f(x)在[2n,2n+1)(n∈N)上单调增,值域为[an,0)
且[a,0)?[a3,0)?[a5,0)?…?[a2k-1,0)?…12分
所以f(x)的值域为[a,0)∪(0,1]…14分.

点评 本题考查了函数的解析式的求法和函数的值域的求法,由于[1,+∞)=[1,2)∪[2,22)∪[22,23)∪…∪[2n,2n+1)∪…只研究函数f(x)在[2n,2n+1)(n∈N)值域是关键,属于难题.

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