题目内容
【题目】若抛物线的焦点为
,
是坐标原点,
为抛物线上的一点,向量
与
轴正方向的夹角为60°,且
的面积为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若抛物线的准线与
轴交于点
,点
在抛物线
上,求当
取得最大值时,直线
的方程.
【答案】(1) ;(2)
或
【解析】
(1)先设的坐标为
,根据向量
与
轴正方向的夹角为60°,可得出
,再利用三角形的面积公式可求得
的值即可求出抛物线
的方程;
(2) 先设的坐标为
,利用两点间的距离公式分别求出
,
,再利用基本不等式求出
取得最大值时
点的坐标,即可求出直线
的方程.
(1))设的坐标为
,(如图)
因为向量与
轴正方向的夹角为60°,
,
所以,
根据抛物线定义得:,
即,解得:
即
,
则,
解得:即抛物线
的方程为:
;
(2) 设的坐标为
,
,则
,
因为点在抛物线
:
上,即有:
,
所以,
,
因此
当且仅当即
时等号成立,
此时,
,
所以直线的方程为:
或
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某同学使用某品牌暖水瓶,其内胆规格如图所示.若水瓶内胆壁厚不计,且内胆如图分为①②③④四个部分,它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体.若其中圆台部分的体积为,且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出
.记盖上瓶塞后,水瓶的最大盛水量为
,
(1)求;
(2)该同学发现:该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时,保温效果不同.为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积,做以下实验:把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同体积的水,并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温,发现水温
(单位:℃)与时刻
满足线性回归方程
,通过计算得到下表:
倒出体积 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
拟合结果 | |||||
倒出体积 | 150 | 180 | 210 | … | 450 |
拟合结果 | … |
注:表中倒出体积(单位:
)是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积.其中:
令.对于数据
,可求得回归直线为
,对于数据
,可求得回归直线为
.
(ⅰ)指出的实际意义,并求出回归直线
的方程(参考数据:
);
(ⅱ)若与
的交点横坐标即为最佳倒出体积,请问保温瓶约盛多少体积水时(盛水体积保留整数,且
取3.14)保温效果最佳?
附:对于一组数据,其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.