题目内容
【题目】某同学使用某品牌暖水瓶，其内胆规格如图所示．若水瓶内胆壁厚不计，且内胆如图分为①②③④四个部分，它们分别为一个半球、一个大圆柱、一个圆台和一个小圆柱体．若其中圆台部分的体积为
，且水瓶灌满水后盖上瓶塞时水溢出
．记盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为
，
（1）求；
（2）该同学发现：该品牌暖水瓶盛不同体积的热水时，保温效果不同．为了研究保温效果最好时暖水瓶的盛水体积，做以下实验：把盛有最大盛水量的水的暖水瓶倒出不同体积的水，并记录水瓶内不同体积水在不同时刻的水温，发现水温
（单位：℃）与时刻
满足线性回归方程
，通过计算得到下表：
倒出体积 | 0 | 30 | 60 | 90 | 120 |
拟合结果 |
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倒出体积 | 150 | 180 | 210 | … | 450 |
拟合结果 |
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| … |
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注：表中倒出体积
（单位：
）是指从最大盛水量中倒出的那部分水的体积．其中：
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令
．对于数据
，可求得回归直线为
，对于数据
，可求得回归直线为
．
（ⅰ）指出
的实际意义，并求出回归直线
的方程（参考数据：
）；
（ⅱ）若与
的交点横坐标即为最佳倒出体积，请问保温瓶约盛多少体积水时（盛水体积保留整数，且
取3.14）保温效果最佳？
附：对于一组数据
，其回归直线
中的斜率和截距的最小二乘估计分别为
．
【答案】（1）
；（2）（ⅰ）
的实际意义为倒出
体积水时，暖水瓶内水的降温速率；回归直线
的方程为
；（ⅱ）
.
【解析】
（1）根据题意，分析可得该暖水瓶的内胆是由一个半球和一个大圆柱以及一个小圆柱组合而成，分别利用球的体积公式和柱体的体积公式求得相应几何体的体积，之后作和求得暖水瓶的最大盛水量，得到结果；
（2）（ⅰ）根据题意，可得的实际意义为倒出体积水时，暖水瓶内水的降温速率；利用公式求得回归直线的方程为；
（ⅱ）联立方程组
得
，即为最佳倒出体积约为
，根据条件，求得结果.
（1）依题意得，半球的半径为
，
体积为
，
大圆柱体积
，
小圆柱体积
，
所以盖上瓶塞后，水瓶的最大盛水量为
．
（2）（ⅰ）的实际意义为倒出体积水时，暖水瓶内水的降温速率；
越小，降温速率越小，保温效果越好；越大，降温速率越大，保温效果越差．
因为
，对于回归直线
，
因为
，
，
所以
，
，
所以回归直线的方程为．
（ⅱ）联立得，
所以保温瓶最佳倒出体积约为，
保温瓶盛水体积约为
，
所以保温瓶盛水体积约为时保温效果最佳．
