题目内容
【题目】已知函数(
且
).
(1)讨论的单调性;
(2)对任意,
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)答案不唯一,具体见解析(2)
【解析】
(1)求出函数的导数,通过讨论a的范围,求出函数的单调区间即可;
(2) 由题意知对任意,
恒成立,
,又由(1)可知,
在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.所以只需:
,设
,对其求导可得函数的单调性,从而可求得实数
的取值范围.
解:(1)由.令
得
,
当时,
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
当时,
时,
,
单调递减;
时,
,
单调递增.
综上所述,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.
(2)由题意知对任意,
恒成立,
,
又由(1)知,在区间
上单调递减,在区间
上单调递增.所以只需:
,
设.
∵,∴
在区间
上单调递增;在区间
上单调递减.
注意到,所以,当
不等式(1)成立;当
时不等式(1)不成立.
又,∴当
不等式(1)也成立,
所以,时不等式(1)成立.此时
,不等式(2)也成立,而当
时,
,由函数
的性质知,不等式(2)不成立.
综上所述,不等式组的解为.
又∵,∴实数
的取值范围为
.
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练习册系列答案
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频数 | 6 | 26 | 38 | 22 | 8 |
(I)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:
(II)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(III)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?