题目内容
如图,在平行四边形中,,,将沿折起到的位置.
(1)求证:平面;
(2)当取何值时,三棱锥的体积取最大值?并求此时三棱锥的侧面积.
(1)证明过程详见解析;(2)时,三棱锥体积取最大值,此时侧面积.
解析试题分析:本题主要考查余弦定理、勾股定理、线面垂直、三角形面积公式、三棱锥的侧面积和体积等基础知识,考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力.第一问,在中,利用余弦定理得到BD的长,从而判断出,利用平行线,得,,利用线面垂直的判定得平面;
第二问,结合第一问的证明知,当时,三棱锥的体积最大,此时平面,所以和为直角三角形,由线面垂直的判定可证出平面,所以,所以为直角三角形,所以三棱锥的侧面积为3个直角三角形之和.
试题解析:(I)在中,
∵ ∴,
又,、平面
∴平面
(2)设E点到平面ABCD距离为,则.
由(I)知
当时,
∵,、平面
∴平面
∴当时,,三棱锥的体积取最大值.
此时平面,∴、
在中,
在Rt△ADE中,
∵,,,、平面
∴平面 ∴
综上,时,三棱锥体积取最大值,此时侧面积.
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