Question

【题目】已知点在椭圆G：上，且椭圆的离心率为．

求椭圆G的方程；

若斜率为1的直线l与椭圆G交于A、B两点，以AB为底做等腰三角形，顶点为，求的面积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

试题（Ⅰ） 由条件可得方程组，解得，，所以椭圆的方程为. （Ⅱ）直线与椭圆弦长、面积问题，一般利用直线方程与椭圆方程联立方程组，转化为一元二次方程，利用韦达定理、点到直线距离公式、弦长公式解决:本题关键转化以为底作等腰三角形，顶点为为，其中中点为，这样可得等量关系，利用韦达定理可得弦中点坐标：，解得，进而可得、两点坐标，以下就具体化了.

试题解析：解：（1）由题意可得，解得，，，

所以椭圆的方程为.

设直线的方程为，代入得……（*）

设， ，中点为，

则，，

因为为等腰的底边，所以，

所以，解得，所以方程（*）为，

解得，，所以，，于是,

此时，点到直线的距离为，

所以△的面积为.