题目内容
【题目】已知函数(
为常数).
(1)讨论函数的单调区间;
(2)当时,设
的两个极值点
,
(
)恰为
的零点,求
的最小值.
【答案】(1)当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当时,
的单调递增区间为
.(2)
【解析】
试题分析:(1)首先求函数的导数 ,分
三种情况解
或
的解集,得到函数的单调区间;(2)首先求
,得到
,根据
,得到
,代入
并化简为
,根据前面根与系数的关系和
的取值范围,得到
的取值范围,通过设
转化为关于
的函数求最小值.
试题解析:(1),
,
当时,由
,解得
,即当
时,
,
单调递增;由
解得
,即当
时,
,
单调递减;
当时,
,即
在
上单调递增;
当时,
,故
,即
在
上单调递增.
所以当时,
的单调递增区间为
,单调递减区间为
;
当时,
的单调递增区间为
.
(2)由得
,
由已知有两个互异实根
,
,
由根与系数的关系得,
,
因为,
(
)是
的两个零点,故
①
②
由②①得:
,
解得,
因为,得
,
将代入得
,
所以,
设,因为
,
所以,所以
,
所以,所以
.
构造,得
,
则在
上是增函数,
所以,即
的最小值为
.
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