Question

【题目】设函数f（x）的定义域为D，如果x∈D，y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，则称函数f（x）为“Ω函数”．给出下列四个函数：
①y=sinx；
②y=2x；
③y= ；
④f（x）=lnx，
则其中“Ω函数”共有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

Answer 1

【答案】C
【解析】解：若x∈D，y∈D，使得f（x）=﹣f（y）成立，
即等价为x∈D，y∈D，使得f（x）+f（y）=0成立．
A．函数的定义域为R，∵y=sinx是奇函数，
∴f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）+f（﹣x）=0，∴当y=﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴A为“Ω函数”．
B．∵f（x）=2x＞0，∴2x+2y＞0，则等式（x）+f（y）=0不成立，∴B不是“Ω函数”．
C．函数的定义域为{x|x≠1}，由（x）+f（y）=0得 ，即 ，
∴x+y﹣2=0，即y=2﹣x，当x≠1时，y≠1，∴当y=2﹣x时，等式（x）+f（y）=0成立，∴C为“Ω函数”．
D．函数的定义域为（0，+∞），由（x）+f（y）=0得lnx+lny=ln（xy）=0，即xy=1，即当y= 时，等式（x）+f（y）=0成立，∴D为“Ω函数”．
综上满足条件的函数是A，C，D，共3个，
故选：C
【考点精析】利用函数的值对题目进行判断即可得到答案，需要熟知函数值的求法：①配方法(二次或四次)；②“判别式法”；③反函数法；④换元法；⑤不等式法；⑥函数的单调性法．