在平面直角坐标系xoy中.已知点P.椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.以坐标原点为圆心.椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．(Ⅰ)求椭圆C的方程,(Ⅱ)设M.N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点.直线PM与QN相交于点T．求证:点T在椭圆C上� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

11．在平面直角坐标系xoy中，已知点P（0，1），Q（0，2），椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，以坐标原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T．求证：点T在椭圆C上．

分析（Ⅰ）利用椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离可知b=$\sqrt{2}$，利用e²=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$可知a=2$\sqrt{2}$，进而可得结论；
（Ⅱ）通过设点M（x₀，y₀）、N（-x₀，y₀）、T（x，y），联立直线PM、QN的方程得x₀=$\frac{x}{2y-3}$、y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，通过将点M、N坐标代入椭圆C方程、化简即得结论．

解答（Ⅰ）解：∵椭圆C的短半轴长为圆心到切线的距离，
∴b=$\frac{|0-0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{3}{4}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）证明：依题意可设点M（x₀，y₀）、N（-x₀，y₀）、T（x，y），
则直线PM的方程为：y=$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+1，
直线QN的方程为：y=-$\frac{{y}_{0}-1}{{x}_{0}}$x+2，
联立直线PM、QN的方程，得：x₀=$\frac{x}{2y-3}$，y₀=$\frac{3y-4}{2y-3}$，
∵点M、N均在椭圆C上，
∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{8}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{2}=1$，
∴$\frac{（\frac{x}{2y-3}）^{2}}{8}+\frac{（{\frac{3y-4}{2y-3}）}^{2}}{2}=1$，
整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{（3y-4）^{2}}{2}$=（2y-3）²，
∴$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{9{y}^{2}}{2}$-12y+8=4y²-12y+9，
即$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
∴点T的坐标满足椭圆C的方程，即点T在椭圆C上．

点评本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

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	A．	若m⊥β，m∥α，则α⊥β		B．	若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β
	C．	若m?β，α⊥β，则m⊥α		D．	若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ

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