题目内容
【题目】已知椭圆和双曲线有共同焦点
，
是它们的一个交点，
，记椭圆和双曲线的离心率分别
，则
的最小值是（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】A
【解析】
由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义，以及余弦定理推出a2+3m2=4c2，进而求出e12+e22的最小值
由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，
令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m，由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，
可得|PF1|=m+a，|PF2|=a-m，又∠F1PF2＝60°，
根据余弦定理得 ：|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2，
可得（m+a）2+（a-m）2-（m+a）（a-m）=4c2，整理得a2+3m2=4c2，
即
，可得
，
则
当且仅当
时，取等号，故选A .
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