Question

【题目】已知椭圆和双曲线有共同焦点，是它们的一个交点，，记椭圆和双曲线的离心率分别，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，令P在双曲线的右支上，由已知条件结合双曲线和椭圆的定义，以及余弦定理推出a2+3m2=4c2，进而求出e12+e22的最小值

由题意设焦距为2c，椭圆长轴长为2a，双曲线实轴为2m，

令P在双曲线的右支上，由双曲线的定义|PF1|-|PF2|=2m，由椭圆定义|PF1|+|PF2|=2a，

可得|PF1|=m+a，|PF2|=a-m，又∠F1PF2＝60°，

根据余弦定理得 ：|PF1|2+|PF2|2-|PF1||PF2|=4c2，

可得（m+a）2+（a-m）2-（m+a）（a-m）=4c2，整理得a2+3m2=4c2，

即 ，可得 ，

则

当且仅当时，取等号，故选A .