Question

【题目】已知椭圆上存在关于直线对称的相异两点，则实数的取值范围是____．

Answer 1

【答案】

【解析】

根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线y=x+m上，故可设直线AB的方程为y=﹣x+b，联立方程整理可得5x2﹣8bx+4b2﹣4=0，结合方程的根与系数关系可求中点M，由△=64b2﹣80（b2﹣1）＞0可求b的范围，由中点M在直线yx+m可得b，m的关系，从而可求m的范围

设椭圆上存在关于直线y=x+m对称的两点为A（x1，y1），B（x2，y2）

根据对称性可知线段AB被直线y=x+m垂直平分，且AB的中点M（x0，y0）在直线y=x+m上，且KAB=﹣1

故可设直线AB的方程为y=﹣x+b

联立方程整理可得5x2﹣8bx+4b2﹣4=0

∴，y1+y2=2b﹣（x1+x2）=

由△=64b2﹣80（b2﹣1）＞0可得

∴，=

∵AB的中点M（）在直线y=x+m上

∴，

∴

故答案为：