Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.

(1)求{an}的通项公式；

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

(1)由递推关系可得a1＝3，利用通项公式与前n项和的关系可知：当n>1时，2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，则an＝3n－1，综上可得： ；

(2)结合(1)中求得的通项公式错位相减可得{bn}的前n项和.

试题解析：

(1)因为2Sn＝3n＋3，

所以2a1＝3＋3，故a1＝3，

当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，

即an＝3n－1，

显然a1不满足an＝3n－1，

所以an＝

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，

当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n，

所以T1＝b1＝.

当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋3×3－3＋…＋(n－1)×31－n]，

所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋3×3－2＋…＋(n－1)×32－n]，

两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋3－3＋…＋32－n)－(n－1)×31－n

＝＋－(n－1)×31－n

＝－，

所以Tn＝－.

经检验，n＝1时也适合．

综上可得Tn＝－.