Question

【题目】对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为函数f（x）的不动点．已知f（x）=x2+bx+c

（1）当b=2，c=-6时，求函数f（x）的不动点；

（2）已知f（x）有两个不动点为，求函数y=f（x）的零点；

（3）在（2）的条件下，求不等式f（x）＞0的解集．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）或；（3）.

【解析】

（1）设x为不动点，则有f（x）＝x，变形为x2+x﹣6＝0，解方程即可．

（2）根据题中条件得x2+（b﹣1）x+c＝0利用根与系数的关系得出b，c的值，最后解方程f（x）＝0即可得出f（x）的零点．

（3）由题意得f（x）＞0即（x+2）（x﹣1）＞0，解之即可．

（1）f（x）=x2+2x-6，

由f（x）=x，

∴x2+x-6=0，

∴（x-2）（x+3）=0，

∴x=2或x=-3，

∴f（x）的不动点为2或-3.

（2）∵f（x）有两个不动点，即f（x）=x有两个根，

∴x2+（b-1）x+c=0，

∵，，

∴b=1，c=-2，

∴f（x）=x2+x-2，

令f（x）=0，

即（x+2）（x-1）=0，

解得x=-2或x=1，

∴f（x）的零点为x=1或x=-2.

（3）f（x）＞0，

∴（x+2）（x-1）＞0，

∴x＞1或x＜-2，

∴f（x）＞0的解集为（-∞，-2）∪（1，+∞）.